Chmura jako zawodnik występował na pozycji środkowego obrońcy. Grał w takich klubach jak Lublinianka Lublin, Siarka Tarnobrzeg, Motor Lublin, czy Wisła Puławy. W karierze trenerskiej pracował w Akademii Piłkarskiej Motoru Lublin, jak również szkolił młodzież w Widoku Lublin. Jego wychowankiem jest m.in Jakub Pryliński. Ciekawostką jest również fakt, że był trenerem KS-u Dąbrowica, z którym Powiślak walczył o awans do IV ligi w sezonie 2012/13.
W kolejnych latach był drugim trenerem Motoru Lublin w II lidze oraz w III lidze. Przez jakiś czas był również pierwszym trenerem Motoru i grał nawet przeciwko naszej drużynie, zwyciężając w Pucharze Polski LZPN 7:0. Robert Chmura pełnił również przez ponad rok funkcję prezesa Akademii Piłkarskiej Motoru.